ГДЗ Enjoy English 10 класс, Приложение: Математика, упр. 9–15

Страница посвящена решению системы линейных уравнений и геометрии: углам, треугольникам и теореме Пифагора. Ученики также находят площадь лаборатории по практической задаче Джерри.

Вспомните, как решать систему линейных уравнений, и изучите пример

9 Do you remember how to solve a system of linear equations? Study the example below to make sure about one of the ways.
9. Вы помните, как решать систему линейных уравнений? Изучите пример ниже, чтобы убедиться в одном из способов.
1 First, we express Y through X in the first equation. Then we take Y out of the brackets in the second equation.
1. Сначала выражаем Y через X из первого уравнения. Затем выносим Y из скобок во втором уравнении.
2 We write the Y-equivalent from the first equation in the second equation. So, we have the following:
2. Подставляем выражение для Y из первого уравнения во второе. Получаем следующее:
3 We multiply (4 - X) by (1 + X) and write the new expression in the left-hand side of the equation. The right-hand side is still the same.
3. Перемножаем (4 − X) и (1 + X) и записываем новое выражение в левой части уравнения. Правая часть остаётся прежней.
4 After that, we transfer everything to the left-hand side to make the expression equal to zero.
4. Затем переносим всё в левую часть, чтобы выражение равнялось нулю.
5 Then we change the signs to make the quadratic equation look more conventional.
5. Затем меняем знаки, чтобы квадратное уравнение выглядело привычнее.
6 To solve the quadratic equation we apply the quadratic formula which is true for any quadratic equation.
6. Для решения квадратного уравнения применяем формулу корней, которая верна для любого квадратного уравнения.
We see that in our equation
Видим, что в нашем уравнении
b is equal to -3
b равно −3
a is equal to 1
a равно 1
and c is equal to 2
и c равно 2
So, we use these numbers instead of the letters and get the following:
Поэтому подставляем эти числа вместо букв и получаем:
7 Then we simplify the right-hand side.
7. Затем упрощаем правую часть.
8 The sign ± demonstrates that X can take two different values. We need to solve the expression for X1 and X2
8. Знак ± показывает, что X может принимать два разных значения. Нужно найти X1 и X2.
9 Now we know the value of X1 and X2, and we need to find out Y1 and Y2. Let’s express them through X1 and X2 (see step 2).
9. Теперь мы знаем X1 и X2, и нужно найти Y1 и Y2. Выразим их через X1 и X2 (см. шаг 2).
(Y1 is equal to four minus two and is equal to two)
(Y1 равно четыре минус два, то есть два)
(Y2 is equal to four minus one and is equal to three)
(Y2 равно четыре минус один, то есть три)
10 Now we can see that the system of equations has two solutions. We write down both of them as necessary.
10. Теперь видно, что система имеет два решения. Записываем оба, если нужно.
Solution: (2; 2) (1; 3)
Решение: (2; 2) (1; 3)

Отметьте выражения, которые использовались в объяснении, и запишите их

Подсказка. Сравните каждое выражение с текстом объяснения из упражнения 9.

10 Read the following expressions. Which of them were used in the explanation above? Write them down.
10. Прочитайте следующие выражения. Какие из них использовались в объяснении выше? Запишите их.
• to solve the equation
• решать уравнение
• to calculate the quantity
• вычислять величину
• to divide the total sum by the number of participants
• разделить общую сумму на количество участников
• to subtract something from something
• вычесть что-то из чего-то
• to multiply something by something
• умножить что-то на что-то
• to find out the value of the unknown variable X
• найти значение неизвестной переменной X
• to get the result
• получить результат
• to simplify the mathematical expression
• упростить математическое выражение
• to transfer the unknown variables to the left-hand side
• перенести неизвестные переменные в левую часть
• to express variable Y through the variable X
• выразить переменную Y через переменную X
• to apply the formula for the equation
• применить формулу к уравнению
• to take out of the brackets
• вынести за скобки
• to make the expression equal to zero
• сделать выражение равным нулю

Ответ

The following expressions are used in Ex. 9. though the wordings of some of them may vary a little.
В упражнении 9 использованы следующие выражения, хотя формулировки некоторых из них могут немного отличаться.
to solve the equation
решать уравнение
to multiply something by something
умножить что-то на что-то
to find out the value of the unknown variable X
найти значение неизвестной переменной X
to get the result
получить результат
to simplify the mathematical expression
упростить математическое выражение
to transfer the unknown variables to the left-hand side
перенести неизвестные переменные в левую часть
to express variable Y through the variable X
выразить переменную Y через переменную X
to apply the formula for the equation
применить формулу к уравнению
to take out of the brackets
вынести за скобки

В группе объясните, как решить данную систему линейных уравнений, по примеру выше

Подсказка. Опишите шаги по порядку: выразить одну переменную, подставить, решить, найти вторую.

11 Work in small groups. Explain how to solve the following system of linear equations. Use the model above.

11. Работа в малых группах. Объясните, как решить следующую систему линейных уравнений. Используйте пример выше.

Варианты ответа

Вариант 1

Let's solve the system: x + y = 5 and x - y = 1.
Давайте решим систему: x + y = 5 и x - y = 1.
First, we add the two equations.
Сначала сложим два уравнения.
We get 2x = 6.
Получаем 2x = 6.
Then we divide both sides by 2. So x = 3.
Затем делим обе части на 2. Значит, x = 3.
Now we put x = 3 into the first equation: 3 + y = 5.
Теперь подставим x = 3 в первое уравнение: 3 + y = 5.
So y = 2.
Значит, y = 2.
Let's check: 3 + 2 = 5 and 3 - 2 = 1. It is correct.
Проверим: 3 + 2 = 5 и 3 - 2 = 1. Всё верно.
The answer is x = 3, y = 2.
Ответ: x = 3, y = 2.

Вариант 2

We have a system of two linear equations with two unknowns: 2x + y = 7 and x - y = 2.
У нас система из двух линейных уравнений с двумя неизвестными: 2x + y = 7 и x - y = 2.
We can use the elimination method. The coefficients of y are 1 and -1, so we can eliminate y by adding the equations.
Можно использовать метод исключения. Коэффициенты при y равны 1 и -1, поэтому мы можем исключить y, сложив уравнения.
When we add them, we get 3x = 9.
Когда мы их складываем, получаем 3x = 9.
Next, we divide both sides by 3, and we find that x = 3.
Далее делим обе части на 3 и находим, что x = 3.
After that, we substitute this value into the second equation: 3 - y = 2.
После этого подставляем это значение во второе уравнение: 3 - y = 2.
Solving it, we get y = 1.
Решая его, получаем y = 1.
Finally, we should check the solution in both equations: 2 · 3 + 1 = 7 and 3 - 1 = 2.
Наконец, нужно проверить решение в обоих уравнениях: 2 · 3 + 1 = 7 и 3 - 1 = 2.
Both equations are true, so the solution of the system is x = 3 and y = 1.
Оба равенства верны, поэтому решение системы: x = 3 и y = 1.

Текст к упражнению 12: определения геометрических понятий

12 Study the pictures and complete the definitions with the words from the box.
12. Изучите рисунки и дополните определения словами из рамки.
A right angle is an angle which is exactly 90.
Прямой угол — угол, равный ровно 90°.
An acute angle is an angle which is less than 90.
Острый угол — угол, меньший 90°.
An obtuse angle is an angle which is more than 90 but less than 180°.
Тупой угол — угол, больший 90°, но меньший 180°.
An isosceles triangle is a triangle with two sides of equal length.
Равнобедренный треугольник — треугольник, у которого две стороны равны по длине.
An equilateral triangle is a triangle in which all the sides are of equal length.
Равносторонний треугольник — треугольник, у которого все стороны равны по длине.
A right triangle is a triangle in which one of the angles is exactly 90.
Прямоугольный треугольник — треугольник, один из углов которого равен ровно 90°.
Hypotenuse is the longest side of a right triangle which is opposite the right angle.
Гипотенуза — самая длинная сторона прямоугольного треугольника, лежащая напротив прямого угла.

Завершите определения словами из рамки

Подсказка. Сравните каждое определение с рисунком и выберите подходящий термин.

Ответ

A right angle is an angle which is exactly 90.
Прямой угол — угол, равный ровно 90°.
An acute angle is an angle which is less than 90.
Острый угол — угол, меньший 90°.
An obtuse angle is an angle which is more than 90 but less than 180°.
Тупой угол — угол, больший 90°, но меньший 180°.
An isosceles triangle is a triangle with two sides of equal length.
Равнобедренный треугольник — треугольник, у которого две стороны равны по длине.
An equilateral triangle is a triangle in which all the sides are of equal length.
Равносторонний треугольник — треугольник, у которого все стороны равны по длине.
A right triangle is a triangle in which one of the angles is exactly 90.
Прямоугольный треугольник — треугольник, один из углов которого равен ровно 90°.

Прочитайте утверждение и отметьте название теоремы

Подсказка. Вспомните, как называется соотношение катетов и гипотенузы в прямоугольном треугольнике.

13 Read the statement and tick the name of the theorem.
13. Прочитайте утверждение и отметьте название теоремы.
The theorem states that in any right triangle the sum of the squares of lengths of the legs is equal to the square of the length of the hypotenuse.
Теорема утверждает, что в любом прямоугольном треугольнике сумма квадратов длин катетов равна квадрату длины гипотенузы.
Pythagoras’ Theorem
Теорема Пифагора
Archimedes’ Theorem
Теорема Архимеда
Diophantine Theorem
Диофантова теорема
Write it down as a mathematical expression.
Запишите её в виде математического выражения.

Ответ

Pythagoras’ Theorem (it's also often called Pythagorean Theorem) a2 + b2 = c2
Теорема Пифагора (её также часто называют пифагоровой теоремой): a² + b² = c²
The two other mentioned names are: Archimedes — a Greek mathematician, who lived in the third century BC and is famous for discovering Archimedes' principle, which states the following:
Два других названия связаны с учёными. Архимед — греческий математик, живший в III веке до н. э., известный открытием закона, который гласит:
If we put an object in a liquid, the force which acts on it and prevents it from drowning is equal to the weight of the liquid displaced by that object.
Если погрузить тело в жидкость, выталкивающая сила, которая действует на него и не даёт ему утонуть, равна весу вытесненной телом жидкости.
Diophantus of Alexandria — a mathematician who lived in Egypt in the third century AD and was called the father of algebra as he had a great impact on the further development of the science. It's believed that he was the first mathematician who made a breakthrough in working with fractions and algebraic linear equations.
Диофант Александрийский — математик, живший в Египте в III веке н. э., которого называли отцом алгебры за большое влияние на развитие науки. Считается, что он первым добился прорыва в работе с дробями и линейными алгебраическими уравнениями.

Определите, верны ли утверждения

Подсказка. Вспомните свойства периметра, площади и углов треугольника.

Say if the statements below are true or false.
Скажите, являются ли приведённые ниже утверждения истинными или ложными.
The perimetre of a rectangle equals the sum of the lengths of its sides.
Периметр прямоугольника равен сумме длин его сторон.
The sum of the angles of any triangle is one hundred and eighty degrees.
Сумма углов любого треугольника равна 180 градусам.
The length of one side of the triangle can be greater than the sum of the length of the other two sides.
Длина одной стороны треугольника может быть больше суммы длин двух других сторон.
We can find out the area of a rectangle if we multiply side a by side b.
Площадь прямоугольника можно найти, перемножив его стороны a и b.

Ответ

1-T
1 — верно
2-T
2 — верно
3-F
3 — неверно
4-T
4 — верно

В группах прочитайте письмо Джерри и решите его проблему

Подсказка. Нарисуйте план лаборатории и подумайте, какие фигуры образует диагональ.

15 Work in small groups. Read Jerry’s message and solve his problem.
15. Работа в малых группах. Прочитайте сообщение Джерри и решите его проблему.
a) Use the laws of geometry and write down your solution.
а) Используйте законы геометрии и запишите своё решение.
b) Explain to Jerry (and to the whole class) your way of solving the problem.
б) Объясните Джерри (и всему классу) свой способ решения.
Choose the group which presented and explained the solution the most clearly.
Выберите группу, которая наиболее понятно представила и объяснила решение.
Hi!
Привет!
I was told to buy a special acid-resistant floor covering for our chemical laboratory. This floor covering is very expensive and I need to know the exact quantity, i.e. how many square metres to buy. The problem is that there's lots of chemical equipment in the lab at the moment, and I'm not allowed to touch anything. So, I can measure the length of the lab — it's 12 metres, but can't measure its width. I can also measure the distance from the door corner to the window corner (it's 13 metres), but it doesn't seem to help much, does it?
Мне поручили купить специальное кислотостойкое покрытие для пола в нашей химической лаборатории. Оно очень дорогое, поэтому мне нужно точно знать количество, то есть сколько квадратных метров покупать. Проблема в том, что сейчас в лаборатории много химического оборудования и трогать ничего нельзя. Я могу измерить длину лаборатории — 12 метров, но не ширину. Я также могу измерить расстояние от дверного угла до оконного угла (13 метров), но, похоже, это мало поможет, не так ли?
I need help! I don't want my boss to think that I'm stupid and fire me!
Мне нужна помощь! Не хочу, чтобы босс подумал, что я глупый, и уволил меня!
Call me as soon as possible,
Позвони мне как можно скорее,
Jerry
Джерри

Варианты ответа

Вариант 1

a) Our solution
а) Наше решение
The lab is a rectangle. The length is 12 m.
Лаборатория — прямоугольник. Длина 12 м.
The distance from corner to corner is the diagonal. It is 13 m.
Расстояние от угла до угла — это диагональ. Она равна 13 м.
The diagonal makes a right triangle with the length and the width.
Диагональ образует прямоугольный треугольник с длиной и шириной.
We use the Pythagorean theorem: a² + b² = c².
Мы используем теорему Пифагора: a² + b² = c².
12² + b² = 13²
12² + b² = 13²
144 + b² = 169
144 + b² = 169
b² = 169 − 144 = 25, so b = 5 m.
b² = 169 − 144 = 25, значит b = 5 м.
The area is 12 × 5 = 60 square metres.
Площадь равна 12 × 5 = 60 квадратных метров.
b) Jerry, you need to buy 60 square metres of floor covering.
б) Джерри, тебе нужно купить 60 квадратных метров покрытия для пола.

Вариант 2

Hi, Jerry!
Привет, Джерри!
Don't worry, your problem is easy to solve. The distance you measured really helps a lot.
Не волнуйся, твою задачу легко решить. Расстояние, которое ты измерил, очень помогает.
First, the floor of the lab is a rectangle, so all its angles are right angles.
Во-первых, пол лаборатории — прямоугольник, поэтому все его углы прямые.
The distance from the door corner to the window corner is the diagonal. It divides the rectangle into two right triangles.
Расстояние от угла у двери до угла у окна — это диагональ. Она делит прямоугольник на два прямоугольных треугольника.
In each triangle, the diagonal (13 m) is the hypotenuse, and the length (12 m) is one of the legs.
В каждом треугольнике диагональ (13 м) — гипотенуза, а длина (12 м) — один из катетов.
According to the Pythagorean theorem, the square of the hypotenuse equals the sum of the squares of the legs.
По теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
So the width squared = 13² − 12² = 169 − 144 = 25.
Значит, квадрат ширины = 13² − 12² = 169 − 144 = 25.
The width is the square root of 25, that is 5 metres.
Ширина — это квадратный корень из 25, то есть 5 метров.
Now we can find the area of the rectangle: 12 × 5 = 60 m².
Теперь можно найти площадь прямоугольника: 12 × 5 = 60 м².
So you should buy 60 square metres of the acid-resistant floor covering. It is a good idea to check the numbers once more and ask about extra material for cutting.
Итак, тебе нужно купить 60 квадратных метров кислотостойкого покрытия. Хорошо бы ещё раз проверить расчёты и узнать про запас материала на подрезку.
Your boss won't think you're stupid!
Твой начальник не решит, что ты глупый!
Best wishes, Group 1
С наилучшими пожеланиями, группа 1

Решите задачу Джерри: найдите площадь лаборатории по законам геометрии и объясните решение классу

Подсказка. Нарисуйте прямоугольник и диагональ: получится прямоугольный треугольник, к которому применима теорема Пифагора.

Варианты ответа

Вариант 1

Jerry wants to know the area of the room.
Джерри хочет узнать площадь комнаты.
The room is a rectangle.
Комната — прямоугольник.
I know side a = 12 m and the diagonal c = 13 m.
Я знаю сторону a = 12 м и диагональ c = 13 м.
I don't know side b.
Я не знаю сторону b.
The diagonal makes a right triangle.
Диагональ образует прямоугольный треугольник.
Side c is the hypotenuse.
Сторона c — гипотенуза.
a² + b² = c², so b² = 13² − 12² = 169 − 144 = 25.
a² + b² = c², значит b² = 13² − 12² = 169 − 144 = 25.
So b = 5 m.
Значит, b = 5 м.
The area is S = a × b = 12 × 5 = 60 square metres.
Площадь S = a × b = 12 × 5 = 60 квадратных метров.

Вариант 2

Dear Jerry, let me explain how we solved your problem.
Дорогой Джерри, позволь объяснить, как мы решили твою задачу.
First, we looked at the plan and saw that the room is a rectangle, so we drew it.
Сначала мы посмотрели на план и увидели, что комната — прямоугольник, и нарисовали его.
We know one side, a = 12 m, and the distance between opposite corners, c = 13 m. The other side, b, is unknown.
Нам известна одна сторона, a = 12 м, и расстояние между противоположными углами, c = 13 м. Другая сторона, b, неизвестна.
The area of a rectangle is S = a × b, so we need to find b.
Площадь прямоугольника S = a × b, поэтому нужно найти b.
The diagonal divides the rectangle into two right triangles. In each of them, a and b are the legs and c is the hypotenuse, the longest side opposite the right angle.
Диагональ делит прямоугольник на два прямоугольных треугольника. В каждом из них a и b — катеты, а c — гипотенуза, самая длинная сторона напротив прямого угла.
Now we can use the Pythagorean Theorem: a² + b² = c².
Теперь можно использовать теорему Пифагора: a² + b² = c².
So b = √(c² − a²) = √(169 − 144) = √25 = 5 m.
Значит, b = √(c² − a²) = √(169 − 144) = √25 = 5 м.
Finally, we calculate the area: S = 12 × 5 = 60 m².
Наконец, считаем площадь: S = 12 × 5 = 60 м².
The area of your room is 60 square metres.
Площадь твоей комнаты — 60 квадратных метров.

Словарик страницы

right angle	прямой угол
acute angle	острый угол
obtuse angle	тупой угол
hypotenuse	гипотенуза
legs	катеты
perimeter	периметр
area	площадь
system of equations	система уравнений

Unit 4: другие страницы

Unit 4, упр. 1 Unit 4, упр. 2 Unit 4, упр. 3 Unit 4, упр. 4 Unit 4, упр. 5 Unit 4, упр. 6 Unit 4, упр. 7 Unit 4, упр. 8 Unit 4, упр. 9 Unit 4, упр. 10 Unit 4, упр. 11 Unit 4, упр. 12 Unit 4, упр. 13 Unit 4, упр. 14 Unit 4, упр. 15 Unit 4, упр. 16 Unit 4, упр. 17 Unit 4, упр. 18 Unit 4, упр. 19 Unit 4, упр. 20 Unit 4, упр. 21 Unit 4, упр. 22 Unit 4, упр. 23 Unit 4, упр. 24 Unit 4, упр. 25 Unit 4, упр. 26 Unit 4, упр. 27 Unit 4, упр. 28 Unit 4, упр. 29 Unit 4, упр. 30 Unit 4, упр. 31 Unit 4, упр. 32 Unit 4, упр. 33 Unit 4, упр. 34 Unit 4, упр. 35 Unit 4, упр. 36 Unit 4, упр. 37 Unit 4, упр. 38 Unit 4, упр. 39 Unit 4, упр. 40 Unit 4, упр. 41 Unit 4, упр. 42 Unit 4, упр. 43 Unit 4, упр. 44 Unit 4, упр. 45 Unit 4, упр. 46 Unit 4, упр. 47 Unit 4, упр. 48 Unit 4, упр. 49 Unit 4, упр. 50 Unit 4, упр. 51 Unit 4, упр. 52 Unit 4, упр. 53 Unit 4, упр. 54 Unit 4, упр. 55 Unit 4, упр. 56 Unit 4, упр. 57 Unit 4, упр. 58 Unit 4, упр. 59 Unit 4, упр. 60 Unit 4, упр. 61 Unit 4, упр. 62 Unit 4, упр. 63 Unit 4, упр. 64 Unit 4, упр. 65 Unit 4, упр. 66 Unit 4, упр. 67 Unit 4, упр. 68 Unit 4, упр. 69 Unit 4, упр. 70 Unit 4, упр. 71 Unit 4, упр. 72 Unit 4, упр. 73 Unit 4, упр. 74 Unit 4, упр. 75 Unit 4, упр. 76 Unit 4, упр. 77 Unit 4, упр. 78 Unit 4, упр. 79 Unit 4, упр. 80 Unit 4, упр. 81 Unit 4, упр. 82 Unit 4, упр. 83 Unit 4, упр. 84 Unit 4, упр. 85 Unit 4, упр. 86 Unit 4, упр. 87 Unit 4, упр. 88 Unit 4, упр. 89 Unit 4, упр. 90 Unit 4, упр. 91 Unit 4, упр. 92 Unit 4, упр. 93 Unit 4, упр. 94 Unit 4, упр. 95 Unit 4, упр. 96 Unit 4, упр. 97 Unit 4, упр. 98 Unit 4, упр. 99 Unit 4, упр. 100 Unit 4, упр. 101 Unit 4, упр. 102 Unit 4, упр. 103 Unit 4, упр. 104 Unit 4, упр. 105 Unit 4, упр. 106 Unit 4, упр. 107 Unit 4. Progress Check Приложение: Математика, упр. 1–8 Приложение: Биология

Рабочая тетрадь к этому модулю

Unit 4. Section 1 Unit 4. Section 2 Unit 4. Section 3, упр. 1–8 Unit 4. Section 3, упр. 9–11 Unit 4. Section 4

Рабочая тетрадь к этому модулю

Unit 4. Warm-up 1 Unit 4. Warm-up 2 Unit 4. Test

Enjoy English 10 класс, учебник. Авторы: Биболетова М. З., Бабушис Е. Е., Снежко Н. Д., 2018.